己肯定会发现蛛丝马迹。但他现在得到的印象却全然不是这么回事。令雷内感到苦恼的无论是什么,反正他猜不透。这使他感到烦恼。
6
1931年,库特·哥德尔6证明了两大定理。第一个定理实际上表明:数学包含或许是真实的、但在本质上却无法证明的陈述。甚至简单如算术的形式系统也可以包括精确,有意义,而且似乎真实无疑的陈述,但却无法用形式方法加以证明。
他的第二个定理表明:断言算术具有逻辑上的一致性,这就是上面所说的那种陈述之一,采用算术公理的任何方法都不能证明其真实性。也就是说,作为一种形式系统的算术无法保证不会得出1=2这样的结果。这样的矛盾也许永远不会遇到,但却无法证明绝对不会遇到。
6a
卡尔再次走进雷内的书房。她站在书桌跟前,抬头看他。他鼓起勇气说:“雷内,显然是——”
她打断她的话,“你想知道我烦恼的原因吗?好吧,我告诉你。”说着雷内便拿出一张白纸,坐在书桌跟前,“等一下,这需要一点时间。”卡尔又张开嘴,但雷内挥手示意他保持沉默。接着,她深深地吸了一口气,开始写起来。
她画了一条线,穿过纸的中央,将纸分成两栏。然后,她在一行的顶部写下数字1,另一行的顶部写下数字2。接着在这两个数字下面迅速潦草地画一些符号,又在这些符号下面的行列里把它们扩展成一串串别的符号。她边写边咬牙切齿,写下那些文字时,感觉好像她正用指甲刮过黑板似的。
写到纸的三分之二左右时,雷内开始将长串长串的符号减少成连续的短串符号。她心里想,现在要到关键处了。她意识到自己在纸上用力过重了,下意识地放松握在手中的铅笔。在她下面写出的那一行上,符号串变成相等了。接着,她重重地写了个“=”号,横过纸的底部中心线。
她将纸递给卡尔。他望着她,表示看不懂。“看一看顶部吧。”他照办了,“再看一看底部。”
他眉头紧锁。“我还是看不懂。”
“我发现了一种体系,可以使任何数字等于任何别的数字。这张纸上就证明了一和二是相等的。你随便挑两个数字,我都可以证明它们是相等的。”
卡尔似乎竭力在回忆什么。“里面肯定出现了以零为被除数的情况,对吗?”
“不对。没有不符合规则的运算,没有不严谨的术语,没有想当然假定的独立公理,全都没有。证明过程绝对没有采用任何规则禁止的东西。”
卡尔摇了摇头。“等一下。显然一和二是不相等的。”
“但在形式上它们是相等的:证明就在你手里。我使用的一切方法都是绝对无可争议的。”
“但这儿不就是矛盾吗?”
“说对了。也就是说,算术作为一种形式系统,是不一致的。”
6b
“你找不出错误来,这就是你的意思吗?”
“不对,你没有听。你以为我是因为这种情况才焦头烂额的吗?证明本身并没有错误。”
“你的意思是说,用的方法都是对的,结果却出了错?”
“正确。”
“你肯定——”他戛然而止,却太晚了。她瞪着他。她当然清楚他想说的是什么。不知她的目光是什么意思。
“你懂吗?”雷内道,“我已经推翻了大半个数学:这门学问全都没意义了。”
她焦躁起来,几乎快发疯了。卡尔小心翼翼地选择着字眼,“你怎么能这么说?数学仍然有作用。科学和经济并不会因为你这个领悟而突然崩溃的。”
“这是因为他们使用的数学纯粹是骗人的把戏。是一种口诀式的小玩意儿,跟用指关节来计算哪些月份有三十一天一样。”
“不一样。”
“为什么不一样?现在,数学与现实绝对毫无关系。且不说像虚数或者无穷小数之类的概念,现在,就连该死的整数加法都跟用指头计算毫无关系。你用指头计算,一加一始终等于二,但在纸上我可以给你无穷多的答案,这些答案全都同样有效,这意味着它们全都同样无效。我可以写出你见过的最优美的定理,但它却不过是一个瞎扯淡等式。”她苦笑起来,“实证主义者曾经说一切数学都是同义反复。他们错了:数学是自相矛盾。”
卡尔试了试另一种方式。“等一下。刚才你提到虚数这类想像出来的概念,大家不也一样接受了吗?现在不也可以这样吗?数学家们曾经相信虚数没有意义,可是现在它们成了数学的基础概念。情况完全是一样的呀。”
“不一样。当时的解决方法只是扩展语境,用在这里不起作用。虚数给数学增添新的内容,而我的形式系统却是给已经存在在那里的东西下定义。”
“但是,如果你改变语境,从不同的角度探索——”
她翻了个白眼。“不可能!这个体系是从和加法一样明白无误的公理得出的结果,无法绕过。我可以担保。”
7
1936年,格哈德·根茨恩提出了一种对算术一致性的证明,可是要做出证明,他需要采用一种有争议的方法,即人们所知道的超限归纳法。这种方法不属于正常的证明方法,因此似乎难以恰当地保证算术的一致性。根茨恩所做的是使用可疑的方法来证明显而易见的东西。
7a
卡拉汉从贝克利大学打电话来说他也不能雪中送炭,但表示愿意继续研究她的论文,似乎她触及到了某种本质的、而又令人不安的东西。他想知道她是否打算发表她的形式体系,因为这个形式体系虽然的确包含他们两人都无法发现的错误,但数学界肯定会有人能够发现的。
雷内几乎没有听见他说话,只是嘀咕今后她会打电话联系他的,近来,她与人讲话很困难,尤其是自从那次与卡尔争论以来,情况更糟糕。系里的同事们都尽量避开她。她显得心不在焉,前一天夜里她做了一个噩梦,梦见她发现了一种形式体系,可以使她将主观概念转换成数学语言,然后,她证明了生与死是相同的。
有一种可能性让她十分惊恐:她正能正在失去理智。她肯定在失去清晰的思维,这与失去理智已经相差无几了。
她责备自己,你是一个多么可笑的女人。哥德尔证明他的不完全定理后自杀了吗?
但是,哥德尔的定理是优美的,让人肃然起敬,是雷内所见到的最优美的一个定理。
而她自己的证明却嘲讽她,讥笑她。就好像谜题书中的一道难题,它说:这下我可把你难住了。你跳过这个错误,查看自己在哪儿出了问题,结果绕了一圈又兜回来,那个难题再一
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