不需证明的常识性认知为公理,经过受逻辑限制的证明为真的陈述为定理。
欧几里得用十条公理推导出465条定理,用465条定理构造了整个经典几何世界。
各国中学生所学习的几何母版,其实就是欧几里得著于两千多年前的《几何原本。
《几何原本在世界范围内的出版发行数量仅次于《圣经,我们依旧在学习两千多年前的几何教材,或许还将继续学习两千年。这就是经典教材的定义。
欧几里得先设定公理再证明定理,从而推导出整个经典几何世界的严谨思维令人惊叹。即便在今天,这种逻辑推理思维与整体构筑能力也堪称变态。
唯一的疑点是,欧几里得第五公设的常识性认知值得商榷。
欧几里得最早设定的10个常识性认知,其实是5个公理+5个公设。
近代数学将公设与公理合并,对于常识性的认知统称为公理。
欧几里得第五公设所描述的常识性认知,可等价表示为:过已知直线外一点,能且仅能作一条直线与已知直线平行。
第五公设不难理解,并成为社会上大多数人的常识。沈奇在黑板上随手画了一条长达一米八的直线,非常的直,像是拿尺子比出来的。
我问山姆,嘿山姆,过已知直线外一点能作几条直线与已知直线平行?
山姆告诉我,只能作一条平行线。山姆说这是他中学数学老师教他的,他认为这是常识性的问题,就如信用卡必须按时还款,否则将被起诉。
我问丽萨,她给我相同的答案。
对了,山姆是老虎旅馆的经理,人很不错。而丽萨是经济学三年级的学生,超级火辣,人很可爱,她常去老虎旅馆玩。说到这里,沈奇在黑板上画了个点。
哇喔,奇,你已经和丽萨约会了?十二位数学系男生中的一半是宅男,并没有女朋友,他们感到羡慕。
这不是重点。沈奇心疼的看着这些宅男单身狗,承诺道:几个月之后你们进入普林斯顿满两年,我会介绍你们加入老虎旅馆,普林斯顿最漂亮最劲爆的姑娘们都在那里愉快玩耍。
greatkey!
伟大奇!
宅男们鸡冻了,沈奇在他们心中的形象愈发光辉伟岸,老头子教授们可不会带他们去俱乐部认识漂亮姑娘。
言归正传,重点是经济学专业的丽萨也学习基础数学理论,但她并不认为过直线外一点,能作出两条以上的平行线。沈奇敲了敲黑上的那个小点,说到:丽萨无法做到的事情,我们可以替她完成。欧几里得第五公设在大多数情况下是常识,但当光线通过大质量星球时,我们必须使用非欧几何,因为光线会弯曲。
沈奇在黑板上徒手画了一个圆,特别的圆,圆成这样了○
圆内两点ab由一条曲线连接,这条曲线在非欧几何中代表直线。
从宇宙的角度审视地球,过ab外一点,我们可以作出无数条平行线。
沈奇给学生们温习罗氏点和罗氏直线的知识点,加深学生们的印象。
穆勒教授在大课堂上讲的很快,两节大课之后已讲到了黎曼几何。
导修班是有必要的,这些二年级学生尚在学术成长期,他们需要一对一的单独辅导,否则有可能抓狂。
伟大的欧几里得留下了一条破绽,第五公设的普适性值得商榷,而这正是非欧几何的开端。
非欧几何分为两个主要流派,罗巴切夫斯基几何与黎曼几何。
罗氏几何即双曲几何,更多是从几何角度出发。黎曼几何即椭圆几何,因为流形的引入,黎曼几何与微分拓扑群论相交叉,研究起来的难度更大。
沈奇在罗氏几何中,通过作图演绎出了过直线外一点的无穷多条平行线,传统意义上的平行概念消失,弯曲空间中的平行遵守罗氏平行公理。
在这个特殊的空间中,三角形的内角和不再是180度,而是小于180度。
三角形的样子也不再是刚正不阿的传统三角形,沈奇用魔鬼喇叭花图案,生动演绎了罗氏三角形内角和小于180度的原理。
卢卡是个很有天赋的学生,他举一反三的作出了一组大魔鬼三角形,诠释了罗氏几何中不存在任何一对不全等的相似三角形。
意大利人似乎对于作图绘画建筑有着天生的灵感和直觉,沈奇欣赏卢卡这个意大利学生,卢卡天赋佳形象有特点,并保持了意大利男人一贯的骚气。
卢卡不是宅男,他有女朋友,来美国后谈过好几个,目前处了个美国对象,姑娘挺俊俏,是阿拉巴马州卡尔霍恩县安尼斯顿镇镇长的女儿。
在普林斯顿,学渣真的找不到女朋友。
只有在搞定学业的前提下,男孩纸们才有精力和时间去社交,去参加体育运动展现肌肉,从而吸引并结识漂亮姑娘。
杰克马这位亚裔男孩也是沈奇欣赏的人,沈奇发现杰克马喜欢在几何分析中加入代数处理。
杰克马通过一组漂亮的二维流形解释了常曲率空间中的测地线性状问题,得到了沈奇的赞誉。
导修课堂上的学术气氛比较热烈,沈奇用深厚的数学知识及通俗易懂的讲解方式,赢得了全部学生的尊重与好感。
作为见面礼,沈奇只留下了一道作业题,他在黑板上画了一个非常漂亮的图形,像是把埃菲尔铁塔作倒影处理后与原像一同展现。
三天之内,我希望能收到你们的作业,我的电子邮箱写在了黑板上,你们可以发电子版作业给我,当然也可以提交纸版,我的办公室在路德大楼2楼a02室,欢迎随时来找我。
下节导修课的开端,我将和你们一同探讨这道题目。好了,今天的导修课到此结束,这是我来普林斯顿后度过最愉快的两个小时,你们非常可爱。
沈奇笑着挥挥手,离开了教室。
十二位学生陷入了沉思,他们盯着黑板上漂亮而古怪的图案,半小时之内没有一人离开教室。此时已是晚上十点半,对于这些二年级学生来说,晚自习才刚刚开始。
助教的任务是辅助教授,引导本科生完成核心课程进修。
和一群可爱的各国大男孩们度过愉快的两小时后,沈奇投入到他的主业中,他的主线当然是科研线。
穆勒沈定理的证明工作按计划实施。
沈奇用三天时间完成了一个小细节处理,证明每个弱闭凸集是近迫集,使得‖xyn‖dist(x,a)(n∞)不失一般性。
今天是沈奇收作业的最后期限,十二份作业交齐了。
埃菲尔铁塔作倒影处理后与原像一同展现,这道黎曼几何的题目有一定难度。
只有三位学生运用高斯博内定理成功证明了,埃菲尔铁塔和它的倒影是弯曲空间。
另外九位学生或多或少出现了错误判断和解释。
抄作业在普林斯顿是一件可耻的事情,后果严重到会让一位学生信誉全失。
沈奇相信他的男孩子们不会抄作业,他逐一批改十二份作业。
约翰,b。
阿尔希拉尔,b。
卢卡,a。
斯蒂芬,a。
杰克马,a。
沈奇认真负责的批改作业,学生们的导修课作业成绩是要留档的。
杰克马,我再看看,嗯,a+。
沈奇越看杰克马的作业越开心,这小伙子可以的,他在黎曼几何中的微分处理得有我大二时的水平了吧,必须跟他添个+号。
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