欧拉乘积公式的推导过程,大学课本里还是有的,但又有多少人会自己推导一遍呢
将公式直接拿来用就完事了!
经过田立心连比带画地将这个公式推导了一遍,许多人都豁然开朗了。
但还有不少人根本就不知道,这个公式的意义在哪
欧拉乘积公式的意义在于,对全体质数的某些运算可以转移成对全体自然数的运算。这么一来,通过研究对自然数的求和Σnn-s,就有可能对质数获得更深刻的认识。
这个求和是非常重要的,所以它有一个专门的名称,——黎曼ζ函数。
这个函数明明是欧拉先提出来的,为什么会叫黎曼ζ函数呢
田立心并立即给出答案,而是提出新的问题,“我们来到第二个部分,我来先问几个问题,两个自然数互质的概率是多少什么是互质n个自然数互质有没有通项公式呢”
“自然数互质,意思就是它们没有共同的质因数,它们的最大公约数是1。例如2和3互质,2和15互质,但15和21不互质,因为15和21都以3作为质因数。由此得知,任意两个不同的质数是互质的,一个质数和一个不以它作为质因数的合数是互质的,1和任意自然数都是互质的。”田立心解释了互质的概念后,便利用欧拉乘积公式写下了两个自然数互质的数学表示方法,并一步步计算了下去。
计算的结果显示,得到n个自然数互质的概率正好等于所有自然数的倒数之和,这个数也称为调和级数——也就是1/ζ。
特别说明,这个函数中的s是大于1的。
也就是说,随着s趋于无穷大,ζ=Σnn-s当中只有第一项1不受影响,后面的项都迅速地趋近于0,所以ζ会趋近于1。相应的,s个自然数互质的概率会趋近于100%。
要是s=1呢
ζ等于无穷大!
也就是说,调和级数是发散的!
但在这个推导过程中,是包含一个前提的,——就是ζ是一个有限值,或者说ζ是收敛的。
只有在这个前提之下,才能将它当成一个正常的数进行各种操作,例如乘以1- f,消去所有包含2n的项。
假如ζ是发散的,这样的操作就是毫无意义的,这会带来各种各样的错误结果。
被人调侃的全体自然数之和等于-1/12,便是这样计算出来的错误之一。
那么,全体自然数之和等于-1/12,又是怎么被人证明出来的呢
这就要说到黎曼了。
黎曼是德国著名的数学家,数学王子高斯的弟子。
黎曼在二十八岁时发表了题为《论作为几何学基础的假设》的演说,就此创立了黎曼几何学。他将曲面本身看成一个独立的几何实体,而不是把它仅仅看作欧几里得空间中的一个几何实体,后来,爱因斯坦也是运用黎曼几何和张量分析工具,才创立了新的引力理论——广义相对论。
全体自然数之和等于-1/12,就是黎曼在运用欧拉乘积公式中偶然得到的副产品。
正是在这个错误的结果的启迪之下,黎曼对欧拉乘积公式的运用提出了四条脉络。
一,应该把ζ中的自变量s理解为复数,而不只是实数。
二,可以通过解析延拓,让ζ在s < 1的地方也获得定义。
三,通过对ζ的研究,可以对小于等于某个数的质数的个数,给出一个明确的表达式,在这个表达式中唯一未知的就是ζ的零点的位置。
四,黎曼猜测ζ的零点都位于某些地方。
由此可见,黎曼在欧拉ζ函数上的研究上,显然是比欧拉更进一步的。
他在加入解析延拓之后,使得ζ在s < 1的地方获得了定义。
&
猜你喜欢
- 春暖花开
- 小说站自创建以来,始终以热情的态度面对每一个读者朋友,把收费的小说购买来免费给大家阅读,为了阅读方便我站去掉广告信息,创建的目的就是为了大家能免费阅读小说不受VIP章节的限制,网站内大量原创文学满足各种人群的口味。如果你也喜欢小说,那就一起来加入我们吧!永久域名01bz.com|01bz.net
- 花爷菜
- 【2019轻小说樱花祭征文】参赛作品
- 满墙花开
- 快穿 架空 温润高智商受 主受 机甲 丧尸 升级流 开放式结局
- 春暖花开
- 我叫孙涛,是一所位于华夏华南区域的某大学的硕士研究生。26岁,一米七八的身高,虽然没有腹肌,但也没有啤酒肚,五官端正。我们学校研究生男的比女的多,基本上下面三层一直都能住满男生,上面三层女生宿舍都住不满。有一次出去实习了半年,到8月底才回校。回来后下面三层已经没有空床位了。于是幸而又幸的被安排在四楼
- 春暖花开
- 我叫叶小雨,是某市一所大学的学生。我所在的这所大学属于‘混子收容所,在这里上学的多半是想要混个几年,拿了文凭之后出外搬砖的。当然,也有一部分是富二代,仗着家里有钱在这里找女人玩儿。而我属于第一个部分‘搬砖’的,我也只能是第一个,因为我家并不富裕。我们学校的女生,自然学习也不好,学习好的早托人转校了。
- 春暖花开
- 小说站自创建以来,始终以热情的态度面对每一个读者朋友,把收费的小说购买来免费给大家阅读,为了阅读方便我站去掉广告信息,创建的目的就是为了大家能免费阅读小说不受VIP章节的限制,网站内大量原创文学满足各种人群的口味。如果你也喜欢小说,那就一起来加入我们吧!永久域名01bz.com|01bz.net|综
- 十点花开
- 晋江VIP2016.12.22完结文案皇后和宠妃一起穿越了皇后得天独厚玛丽苏附体,人人都爱她宠妃丧心病狂小可怜上身,人人都欺她没有恢复记忆的时候,皇后的日常是每天宠宠宠逗逗逗恢复记忆之后,宠妃的日常是—你猜!内容标签:虐恋情深 穿越时空 娱乐圈 甜文搜索关键字:主角:于诗岚、王芸 配角:于远行、王猛
- 花开的石头
- 为了拯救父母和姑姑,东方寒义无反顾的进入了地狱营,在地狱营中,他无数次的濒临死亡,但是意志坚强的他,多次闯过难关 神奇的青色玉牌,让他逐渐成为了一代杀手之王!
- 佚名